生活中，我们所见的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的。

那何为镶嵌呢？

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌。

镶嵌平面的图形有很多，值得我们研究的问题也有很多。上过这节探究课后，我们来看一下学生的展示和思考吧。

【见名家，赏数学】

埃舍尔的作品中有很多镶嵌的美丽图案，他对数学、建筑学和哲学的过深理解，使他在艺术界几乎总是特立独行，后无来者。他至今无法被归入20世纪艺术的任何一个流派，却被众多的科学家视为知己。他的版画曾被许多科学著作和杂志作封面，1954年的“国际数学协会”在阿姆斯特丹专门为他举办了个人画展，这是现代艺术史上罕见的。下面让我们欣赏他的几幅作品吧。

【勤动手，会思考】

探究活动1：用形状、大小完全相同的一般三角形能否镶嵌整个平面？请用纸板制作六个全等的一般三角形进行拼接，根据拼接的图案观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

通过学生课堂的小组合作发现，此时能镶嵌整个平面。根据拼接的图案观察每个拼接点处有6个角，即这种三角形的三个内角分别出现了两次。这样就可以保证在每个拼接点处能围成360°。

探究活动2：用同一种一般四边形可以镶嵌整个平面吗？用硬纸板剪制八个形状、大小完全相同的四边形做实验。如果可以，在镶嵌图案中观察每个拼接点处有几个角？它们与这种四边形的四个内角有什么关系？

通过学生课堂的小组合作发现，此时能镶嵌整个平面。根据拼接的图案观察每个拼接点处有4个角，即这种四边形的四个内角分别出现了一次。这样就可以保证在每个拼接点处能围成360°。

探究活动3：正五边形能否镶嵌整个平面？画出拼接图案，根据拼接的图案说明是否可以。

通过学生课堂的小组合作发现，此时不能镶嵌整个平面。那为什么呢？通过计算发现，正五边形的每一个内角为108°，若想在每个拼接点上围成360°，此时需要的五边形不是整数个，故不可以镶嵌整个平面。

由以上的3个探究活动我们可以发现，全等的任意三角形、四边形都可以进行平面镶嵌，而大于等于五边的只有特殊多边形才能平面镶嵌。凸多边形能进行平面镶嵌的边数都不少于7边。多少年来，寻找特殊的五边形进行平面镶嵌就成了许多数学家的梦想，各位感兴趣的同学也可以自己去寻找一下。

正六边形是一个可以进行平面镶嵌的多边形，把他按照下图进行等分，就可以得到可以进行平面镶嵌的五边形。

探究活动4：正三角形与正方形可以组合在一起镶嵌整个平面吗？如果可以，你能有几种拼接方法？分析每个拼接点处角的情况.

通过学生课堂的小组合作发现，此时这样的组合能镶嵌整个平面。根据拼接的图案观察每个拼接点处有6个角，以上两种拼接方式是学生在课堂上展示的。由此发现，此时每个拼接点处需要2个正方形和3个正三角形，这样正好是围成了360°的角。此时接着引导学生利用所学数学知识探究正三角形与正方形的密铺理由.

解：∵正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，

则设对于某个拼结点处有x个60°角，有y个90°角。

则：60°x+90° y=360°

即：2x+3y=12

当x=1时，y=；

当x=2时，y=；

当x=3时，y=2；

当x=4时，y=；

当x=5时，y=；

当x=6时，y=0；

又∵x、y是正整数

∴x=3，y=2。

即每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接。

探究小结：根据上面的探究，由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

（1）n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；

（2）n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。

探究活动5：用正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形组合能否铺满平面？

通过学生课堂的小组合作发现，此时这样的组合能镶嵌整个平面。根据拼接的图案观察每个拼接点处有4个角，以上拼接方式是学生在课堂上展示的。由此发现，此时每个拼接点处需要1个正三角形、2个正方形和1个正六边形，这样正好是围成了360°的角。此时接着引导学生利用所学数学知识探究正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形的密铺理由.

解：∵正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°。

则设对于某个拼结点处有x个60°角，有y个90°角，有z个120°角。

则：60°x+90° y+120°z=360°

即：2x+3y+4z=12

当x=1时，y=1时，z=；

当x=2时，y=1时，z=；

当x=3时，y=1时，z=；

当x=4时，y=1时，z=；

当x=1时，y=2时，z=1；

当x=1时，y=3时，z=；

当x=2时，y=2时，z=；

又∵x、y是正整数

∴当x=1时，y=2时，z=1。

即每个顶点处用正三角形的一个内角，正方形的两个内角，正六边形的一个内角进行拼接。

【看作业，重提升】

下图是展示的是一副镶嵌图案的绘制过程，请你仿照图案的绘制方法设计一个平面镶嵌图，并与同伴交流你的设计过程和原理。

【撰稿：张永坤  审稿：张永坤   山大附中洪楼校区数学组教师】